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-- complexsystems.it sviluppi e applicazioni della fisica dei sistemi complessi cerca menu principale vai al contenuto principale vai al contenuto secondario home presentazione navigazione articolo ← articoli più vecchi sulla entropia statistica di boltzmann in primo piano pubblicato il 17 giugno 2013 da admin risposta una delle leggi fondamentali della fisica statistica ha sollevato problemi di così difficile soluzione da bloccare, fino ad oggi, il progresso in campi di estremo interesse. il mio proposito attuale è di mostrare, come questo fondamentale teorema potrebbe ricevere, sulla base di importanti avanzamenti della matematica statistica, delle profonde, sostanziali rielaborazioni. intendo riferirmi alla legge sulla variabilità dell’entropia statistica di boltzmann. secondo boltzmann, la configurazione di massima entropia ha la più alta probabilità di realizzarsi, ma non è la sola configurazione possibile. quindi, il passaggio del sistema in equilibrio statistico attraverso configurazioni di minore entropia non è escluso (ipotesi ergodica). tale conclusione di boltzmann è basata sull’ipotesi che i vari modi di combinazione dei microstati, che danno luogo alle varie configurazioni del sistema abbiano eguale probabilità. per conseguenza, la configurazione di massima entropia ha la massima probabilità perché può essere ottenuta nel maggior numero di modi. noi mostreremo, invece, che la configurazione di massima entropia è la sola possibile configurazione di una sistema in equilibrio statistico. iniziamo con il considerare il senso ed il significato che la statistica permette oggi di attribuire all’entropia statistica. sia un sistema composto da n elementi estratti da un insieme più ampio e individuati da un indice i che va da 1 a n e supponiamo che tali elementi possano trovarsi in r stati individuati dall’indice k che va da 1 a r con probabilità p i,k . e’ ovviamente: ∑p k = 1 (1) quale che sia l’elemento i considerato. supponiamo anche che le probabilità siano eguali quale che sia l’elemento considerato, così che possano essere indicate semplicemente con p k . poniamoci ora questa domanda: data tale struttura di probabilità dei componenti elementari, quale sarà la distribuzione più probabile degli n elementi? nello rispondere a questa domanda fondamentale, la statistica propone un contro-quesito preliminare che condiziona la soluzione del problema e i cui termini, pur essendo prospettati da oltre due secoli, non sono stati evidentemente compresi, visto che un errore banale nella risposta al contro-quesito è stato non solo commesso da boltzmann ma non rilevato nel corso di un dibattito da allora mai interrotto. secondo la statistica, dunque, il termine di probabilità è privo di senso se non viene definito preliminarmente il campo di variazione nei cui confronti esso viene definito. il campo di variazione può essere interno ad un insieme chiamato universo se costituito da un numero infinito di componenti e popolazione se costituito da un numero finito di componenti. in tal caso il campo di variazione è comune a tutti i componenti e si dice che esiste una interdipendenza statistica delle probabilità. il campo di variazione nei cui confronti è definita la probabilità può essere invece interno ad ogni componente che può presentarsi in una molteplicità di modi alternativi, ed il campo di variazione complessivo per un insieme si costituisce per sovrapposizione moltiplicativa dei campi di variazione dei singoli componenti e si dice che esiste una indipendenza statistica delle probabilità. il caso tipico di interdipendenza statistica è costituito da una popolazione di individui classificati secondo una certa caratteristica, supponiamo il colore di una maglia indossata. la probabilità di un certo colore di maglia non costituisce una caratteristica variabile nell’individuo, che si presenta con un solo colore di maglia, ma è desunta dalla variabilità della caratteristica nella popolazione. da notare, ai fini del raffronto con la condizione da cui è partito boltzmann nelle sue elaborazioni, che la condizione di interdipendenza statistica non muta se gli individui si scambiano la maglia, perché il numero di maglie di un dato colore rimane in tal caso costante così come rimane per conseguenza costante la probabilità di ottenere un determinato colore di maglia scegliendo a caso un individuo dalla popolazione. se invece ciascun individuo può presentarsi con un colore diverso di maglia senza che ciò sia l’effetto di una scambio, ad esempio attingendo ad un campo di variabilità proprio, costituito dal proprio guardaroba, senza cioè che il numero di maglie di un determinato colore debba rimanere costante nella popolazione, si ottiene una condizione di indipendenza statistica delle probabilità. trasferiamo tali considerazioni al caso fisico che costituisce il punto di partenza della elaborazione di boltzmann, vale a dire un gas monoatomico costituito da molecole fra le quali si esercitano solamente urti elastici e forze gravitazionali. nell’ambito di valori costanti dell’energia complessiva e del volume complessivo del sistema, si avrebbe una condizione di indipendenza statistica delle probabilità degli stati delle molecole se ogni molecola potesse presentarsi in una molteplicità di stati indipendentemente dalla sua appartenenza al sistema. (allo stesso modo di come un individuo, nell’esempio testé fatto, potrebbe mostrare, attingendo al proprio guardaroba, una variabilità del colore della maglia anche uscendo fuori dalla popolazione). ma è ben evidente che, se una molecola fuoriesce dal sistema (e dal connesso campo gravitazionale) essa non può subire alcuna modifica del suo stato energetico ed anche la sua variazione di posizione è soggetta a condizioni limitative espresse dal principio di inerzia. la variabilità mostrata è quindi effetto di scambio mentre le probabilità sono necessariamente desunte dalla frequenza degli stati molecolari nell’ambito del sistema complessivo. la condizione di partenza è quindi tipicamente di interdipendenza statistica, mentre boltzmann ipotizza, al contrario, che la condizione sia di indipendenza statistica delle probabilità degli stati. si tratta di un errore grave ai fini dello svolgimento della successiva trattazione, non accettabile neanche in via di approssimazione, giacché le due condizioni sono, ai fini di determinati, importanti sviluppi, diametralmente opposte. e’ già ben evidente, infatti, che in condizioni di interdipendenza statistica il sistema può assumere una sola configurazione, in quanto la modifica della configurazione comporta la variazione della frequenza e quindi della probabilità degli stati di posizione, il che implica la possibilità di variazione autonoma, non di scambio, di tali stati, quindi una condizione di indipendenza statistica degli stati. è bene sottolineare che la condizione di interdipendenza statistica degli stati non implica alcuna dipendenza funzionale fra di essi ma semplicemente il fatto che la probabilità di ottenere un dato stato scegliendo a caso un componente del sistema è data della frequenza con cui questo stato appare nel sistema complessivo. i vari stati vanno però considerati come entità assolutamente indipendenti e di comparsa assolutamente casuale, allo stesso modo come le frequenze dei colori di maglia dei componenti della popolazione nell’esempio citato di interdipendenza statistica non possono mutare, ma ciò non toglie che la prima costituzione delle frequenze dei colori possa essere una scelta assolutamente libera da vincoli, quindi casuale. consideriamo adesso un problema che è connesso alle suesposte considerazioni. lo stato macroscopico può essere considerato come composto di n eventi indipendenti, cioè di n successive estrazioni. la probabilità può quindi essere calcolata come il prodotto delle probabilità dei singoli eventi. e’ legittima questa procedura di calcolare la probabilità dell’evento complesso? generalmente parlando, non lo è. poiché l’estrazione è eseguita da u

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